网络保密通信中的有限时间同步控制理论研究

摘 要： 在网络保密通信中，为了保证保密信息在网络中传输的安全性，提出一种新的有限时间同步控制策略，使得发送端网络与接收端网络能够在有限时间内实现广义输出同步，即发送端网络与接收端网络能在极短的时间内达到同步，并且双方网络满足一种非常复杂的函数关系，从而增加了第三方破解双方网络满足的关系，增强了信息传输的安全性和保密性。应用Lyapunov稳定性理论证明了发送端网络与接收端网络在设计的非线性控制器作用下是如何保证系统稳定性的。仿真实验采用Lorenz系统，结果表明，该网络结构满足无标度特性，在设计的非线性控制器下能够有效地实现有限时间广义输出同步。

关键词： 有限时间同步； 安全通信； 广义输出同步； 信息安全； 发送端网络； 接收端网络； 非线性控制器

中图分类号： TN915.08⁃34； TP391.41 文献标识码： A 文章编号： 1004⁃373X（2018）05⁃0047⁃04

Abstract： In the network secret communication， in order to guarantee the transmission security of secret information in network， a new finite⁃time synchronization control strategy is proposed to realize the generalized output synchronization from the sending⁃end network to receiving⁃end network in finite time， and ensure that the two networks can satisfy a complex function relationship in shortest time， so as to make the third party crack the relationship satisfying the two networks， and enhance the security and confidentiality of information transmission. According to the Lyapunov stability theory， how to guarantee the system stability of the sending⁃end network and receiving⁃end network by using the nonlinear controller was verified. The Lorenz system is used for simulation experiment. The simulation results show that the network structure satisfies the scale⁃free characteristic， and the nonlinear controller can realize the finite⁃time generalized output synchronization effectively.

Keywords： finite⁃time synchronization； safety communication； generalized output synchronization； information security； sending⁃end network； receiving⁃end network； nonlinear controller

0 引 言

网络安全涉及计算机科学、网络技术、通信技术、密码技术、信息安全技术、应用数学、数论、信息论等多种学科。网络通信中的保密技术是通信技术的核心技术之一。因此，网络安全、通信保密问题特别重要。

当两个网络在传输秘密信息时必须要保证两个网络同步才能正确接收信息，然而在信息传输的过程中如何保证信息传输的安全性是一个非常重要的问题，前人研究了很多同步机制，比如完全同步、滞后同步、输出同步[2⁃4]等。其中，输出同步能够有效地提高发送端网络与接收端网络信息传输的安全性，每次可以设计不同的投影函数，使得攻击方无法预测两个网络之间的同步关系。文献[5⁃7]研究了两个网络的输出同步，然而输出同步机制的收敛时间是无穷的，而希望得到的结果能够在有限的、很短的时间内达到两个网络的同步，进而更加及时地传输信息。

为了实现两个网络的有限时间同步，一个有效的方法就是使用有限时间同步控制技术。有限时间同步控制已经在文献[8]中的混沌系统中得到了应用与研究。其中的随机近似算法的稳定性是与隐含的渐近稳定性相关的常微分方程，因此又意味着算法的收敛。几个特定类别的算法被认为是应用程序，并为其强化算法的已知结果提供简单的推导，第一次证明了一类不适用任何先验假设稳定性的一步随机逼近算法的收敛性，并回答了最优成本控制性问题。文献[9⁃10]对复杂网络与神经网络的有限时间同步控制进行研究。其中，文献[9]研究了不同阶混沌系统的广义同步问题。基于有限时间稳定性理论，提出一种在有限时间内不同阶次的混沌系统广义同步的控制策略。除了参数之间的关系，得出系统的初始状态和收敛时间。在文献[10]中，研究了在随机噪声扰动的复杂网络中进行有限时间随机同步的问题。利用有限时间稳定性定理、不等式技巧、维纳过程的性質通过加入合适的控制器，确保对复杂网络的有限时间随机同步的充分条件。分析了控制参数对同步速度和时间的影响。在文献[11⁃12]中，考虑了一类具有耦合时变时滞的中立型复杂动态网络的同步问题。通过使用对系统动力学的非线性凸表示，利用LMI基于离散化Lyapunov泛函⁃稳定性条件（线性矩阵不等式），得到与时滞相关的同步判据对中性的复杂动态网络的同步。然而以上方法均没有考虑时变时滞的情况，其所考虑的均为含有常数时延的情况。

基于以上分析，本文所做的工作填补了在网络保密通信中带有时变时滞的发送端网络与接收端网络实现有限时间广义输出同步的空缺，设计了一种新型的控制器用于保证发送端网络与接收端网络的有限时间广义输出同步，进而更好地保证网络间传输信息的安全性。

1 理论基础

考虑一个包含有个节点的复杂网络的动力学系统，其中每个节点都是维的，动力学方程如下：

式中：是第个节点在第个时刻的状态向量；是连续的非线性可微的向量函数；是内部耦合矩阵，是连接耦合变量的常数矩阵，一般来说，选择为单位矩阵。是外部耦合矩阵，代表网络的拓扑结构。如果网络中，节点和节点存在连接，定义，否则，并且定义同理，。

为了在两个网络间传输信息时达到有限时间广义输出同步，从而提高网络保密通信的安全性，实现信息的安全传输，定义方程（1）为发送系统，接收系统定义如下：

式中：是内部耦合矩阵；代表网络拓扑结构；表示添加到响应系统的控制器。

本文中没有假设耦合矩阵是不可约的，也没有假设耦合矩阵是对称的，所以发送端的网络（1）和接收端的网络（2）都可以是无向的网络也可以是有向的网络，在两个网络中都可能包含一些孤立的节点或者簇。

下面给出有限时间广义输出同步的定义。

定义：假设是一个连续可微向量集，如果网络（1）和（2）满足下面的式子就表明发送网络（1）和接收网络（2）达到了有限时间广义输出同步：

式中就是发送端网络（1）和接收端网络（2）达到有限时间广义输出同步的时间。

下面给出本文需要用到的一些假设和引理。

假设 对所有的存在一个正常数满足：

引理 对于一个连续可微系统，假设存在一个连续可微的函数，使其是正定，并且：

式中，微分系统是有限时间稳定的，并且可计算出有限时间的表达式如下：

式中为一个系统的初始状态。

2 控制器设计

利用有限时间理论，发送端网络（1）和接收端网络（2）将实现有限时间广义输出同步，本文给出了实现有限时间广义输出同步的定理，利用Lyapunov稳定性理论对所设计的控制器如何保证系统的稳定性进行证明。

定理 在假设1存在的条件下，发送端网络（1）和接收端网络（2）实现了有限时间广义输出同步，为了克服传统控制器在收敛性和稳定性方面的弊端，将同步误差与雅克比矩阵相结合，体现出最优的线性逼近以保证同步性。因此，在接收端添加控制器为：

通过将雅克比矩阵与同步误差引入到控制器中，可有效抑制同步过程中产生的噪声和波动，并实时性地纠正状态偏差。利用雅克比矩阵最优逼近的特性，可降低对收敛性的保守性，从而适用于更加复杂的网络和实际通信环境。

证明：依据发送端网络（1）和接收端网络（2），得到下面的误差系统：

构建如下的Lyapunov函数：

3 实验与分析

为了验证定理的正确性与有效性，进行了大量的模拟实验。受控复杂网络采用Lorenz系统，并且考虑网络包含有50个节点和两种性质的边。发送端网络的动力学方程可以描述为：

接收信息端的网络动力学方程为：

接收端的网络动力学性质也满足Lorenz系统的动力学特性。为无标度网络的连接矩阵，根据定理计算出的最大同步时间为0.823 5。

图1显示了在控制器作用下的同步误差和曲线，当时，可以清楚地看到三条误差曲线在相同的时间达到同步。从以上的数值仿真可以看出，所提出的控制器具有较高的同步精度和较快的收敛性。

4 结 语

为了实现信息在网络中的保密通信，研究了一种有限时间广义同步控制理论，保证发送端的网络与接收端网络能在有限时间内达到同步。根据Lyapunov稳定性理论，证明了所提控制器的有效性。最后，利用Lorenz系统进行仿真实验，验证了本文所提定理的正确性。

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