中心极限定理及其应用

[摘 要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。

[关键词] 中心极限定理 随机变量 应用

中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。 一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。

一、两个常用的中心极限定理

根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。

定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理）

设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量

的分布函数Fn（x）对于任意x满足

（5.7）

从定理1的结论可知，当n充分大时，有

或者说，当n充分大时，有

如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。

定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理）

设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则

对于任意的x，恒有

. （5.11）

这个定理表明，二项分布以正态分布为极限。当n充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。

说明：正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布，但后者以同时为条件，而前者则只要求这一条件。一般说来，对于n很大，p(或q)很小的二项分布（np≤5）用正态分布来近似计算不如用泊松分布计算精确。

二、中心极限定理的应用举例

例1 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率为多少？

解法1 设X为10000个婴儿中男孩的个数，则要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 P{X≤5000}。

由棣莫佛-拉普拉斯定理有

解法2 设X为10000个婴儿中男孩的个数，令

则，，且独立同分立同分布，

则女孩不少于男孩的概率为 P{X≤5000}.

由列维—林德伯格定理有

即在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率大约是0.00135.

例2 在一家保险公司里有10000个人参加人寿保险，每人每年付30元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.2%，死亡时其家属可向保险公司领得5000元的慰问金，问：

(1)保险公司在该项目上亏本的概率有多大？

(2) 保险公司在该项目上一年中获利不少于150000元的概率是多少？

解：(1) 设X表示一年内死亡的人数，则,

其中

设Y表示保险公司一年的利润，

Y=10000´30-5000X

于是由棣莫佛-拉普拉斯定理

(1)P{Y<0}=P{10000×30-5000X<0}

=1-P{X≤60}＝1 - F(8.95)=0。

即保险公司在该项目上亏本的概率为0。

（2）由题意可知，即求

由棣莫佛-拉普拉斯定理,上式即为

=0.9874.

即保险公司在该项目上一年中以98.74%的概率获利不少于150000元。

除了以上这些问题外，中心极限定理还可以用来求极限.

例3 利用中心极限定理证明

证明：设随机变量序列独立同分布，均服从参数为的泊松分布，其分布律为

则由泊松分布的可加性知

服从参数为的泊松分布，且

于是由列维—林德伯格定理知

中心极限定理的应用非常广泛的，以上几个例子仅仅是其应用的一些方面。一般地，如果一个随机变量能够分解为相互独立且同分布的随机变量序列之和的问题，则可以直接利用中心极限定理进行分析，此外，在大样本的情况下，求未知非正态分布的置信区间也同样可用中心极限定理解决。

参考文献：

[1] 谢永钦．概率论与数理统计[M]．北京：北京邮电大学出版社，2009．

[2] 盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2001．

[3] 苏淳．概率论[M]．北京：科学出版社，2010．

作者简介：

李会葆（1970— ）男，安徽安庆市人，安庆师范学院讲师，从事概率统计、高等数学等课程的教学研究。

项目：2007年度安徽省级教学研究项目（项目批准号：2007jyxm350）

2007年安徽省高等学校自然科学研究项目（项目批准号：KJ2007B122）